MateAtletas en clase

Reglas para Derivar

1. La derivada de una constante:

f ’(c)=0
Ejemplo: Sea f(x) =4
Hallar; f ’(x)=0

2. La derivada de una variable:

f ‘(v)=1
Ejemplo: Sea f(x)=x
Hallar; f ’(x)= 1

3. La derivada de una variable por una constante:

f ‘(cv)= C(1)
Ejemplo: Sea f(x)=6x
Hallar; f ’(x)= 6(1)=6

4. La derivada de una variable elevada un exponente:

f ‘(vn)= nvn-1
Ejemplo: Sea f(x)= x5
Hallar; f ’(x)= 5x5-1 = 54

5. La derivada de una variable por una constante elevada a un exponente:

f ‘ (cvn)= ncvn-1
Ejemplo: Sea f(x)= 3x4
Hallar; f ‘ (x)= (4)(3) x4-1 = 12x3

6. La derivada de un producto de funciones:
(f.g) (x)= f’(x) g´(x) + g´(x) f’(x)

Ejemplo:
h(x)=(3x-2)(9x2+6x+4)
f(x)=3x-2 => f’(x)=3
g(x)= 9x2+6x+4 =>g’(x) 18x2+6
h’(x)=(3x-2)( 18x2+6)+( 9x2+6x+4)(3)

Problemas Fundamentales de Cálculo

• El cálculo diferencial, un campo de la matemática, es el estudio de cómo cambian las funciones cuando sus variables cambian. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. La derivada de una función en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una función cambia conforme un argumento se modifica.
  

• El cálculo integral, también conocido como cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en la cual se estudia el cálculo a partir del proceso de integración o antiderivación.

Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, Descartes, Newton y Barrow, éste último fue el que junto con aportes de Newton, crearon el Teorema fundamental del cálculo integral que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

Gottfried von Leibniz Descubrió el cálculo infinitesimal, independientemente de Newton, y su notación es la que se emplea desde entonces.

La Integral definida

La integral definida expresada como la suma permite calcular el área bajo una curva con base en el teorema fundamental del cálculo el cual faculta la evacuación de una integral definida rápidamente. También ayudara a entender la diferencia y similitudes entre la integral definida e indefinida.

Propiedades de la Integral Definida

La integral definida cumple las siguientes propiedades:

· Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero.

· Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa.

· La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado.

· La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral).

· Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo.

MANEJO DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Derivada: la derivada puede definirse como la pendiente de una curva.

Notación intuitiva de límite:
Limite: es el que permite saber cual es el inicio y final de una recta y una parábola.

Función continúa :

Una función es continua de un intervalo si su grafica no tiene interrupciones o no tiene ruta.

Rapidez instantánea de cambio:
Cuando una cantidad variable pasa de un valor inicial a otro valor.

EJEMPLO DE LIMITES

Hallar el Lim 4x²-5x+2 si x ->1

=4(1)²-5(1)+2
=4(1)-5+2
=4-5+2=7

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

REGLAS PARA DERIVADAS

1.- La derivada de una constante f(c )=0
2.- La derivada de una variable f(v)=1
3.- La derivada de una variable por una constante f(cv)=c(1)
4.- La derivada de una variable elevada a un exponente f(vn)=nvⁿ⁻¹
5.- La derivada de una variable por una constante elevada a un exponente f(cvⁿ)=ncvⁿ⁻¹
6.- La derivada de un producto de funciones (f.g)(x)=f(x)g¹(x)f¹(x)

Relciones y Funciones

Funciones: sea un conjunto de pares coordenados (x, y), tales que “x” esta en “a” y “y” esta en “b” e una función, esto es si cada “x” esta en el corresponde un único elemento de “y” que esta en “b”.

EJEMPLOS DE FUNCIONES

1° Si un vehiculo se mueve a una velocidad constante de 80 km/h, hallar la distancia que recorre en: 1, 2, 3, 4, 5 y 6 horas.

SOLUCION: Sabemos que la velocidad uniforme es aquella que no varia con el tiempo, también sabemos que la velocidad es el cociente de dividir la distancia recorrida entre el tiempo empleado es decir: V= D/T de donde:

80 = D/1 .’. D = 80 KM/H

80 = D/2 .’. D = 160 KM/H

80 = D/3 .’. D= 240 KM/H

80 = D/4 .’. D = 320 KM/H

80 = D/5 .’. D = 400 KM/H

80 = D/6 .’. D = 480 KM/H

RELACIÓN

Una relación establece la correspondencia o asociación entre los elementos de dos conjuntos de objetos.

Una relación es una correspondencia que se establece entre los elementos de un primer conjunto llamado dominio con los elementos de un segundo conjunto denominado contra dominio rango o condominio, de tal manera que acaba con el rendimiento del dominio corresponde a mas elementos en el contra dominio.

En consecuencia toda la función es una relación pero algunas relaciones no son funciones.

NOTACIÓN DE FUNCIÓN

Una función se denota por f(x) podemos calcular que una relación es cualquier conjunto de pares ordenados. Una función es una relación en la que no hay dos pares ordenados primero diferentes.

FORMAS DE REPRESENTAR UNA RELACIÓN

1) mediante un enunciado
2) mediante una ecuación
3) conjunto de pares ordenados
4) tabla de valores
5) grafica
6) diagrama

DOMINIO RANGO DE UNA RELACIÓN:

Por decir dominio ordenado por lo común se utiliza la notación y terminología de intervalos son subconjuntos de los números reales.

Ejemplos:

1° conjunto de los números menores y menores o igual que b.

a) [ ] b) (a, b) c) a<= x <=b
a b
2° conjunto de los números mayores que a y menores que b.

a) ( ) b) (a, b) c) a< x < b
a b

3° conjunto de números reales mayores que a pero menores o iguales que b.

a) ( ] b) [a, b] c) a< x = b
a b

4 ° conjuntos de numeros reales mayores o iguales que a menores que b.

a) [ ) b) [a, b] c) a< = x < b
a b

5° conjunto de números reales mayores o iguales que a.

a) [ ] b) [a, b] c) a > x = b
a b

6° conjunto de números reales menores que a.

a) ( ) b) [a, b] c) a < x < b
a b

7° conjunto de números reales menores o iguales que a.

a) ( ) b) [a, b] c) a > x > b
a b

8° el conjunto de los números reales.

a) ( ) b) [a, b] c) a = x = b
a b

DOMINIO DE UNA RELACION EXPRESADA MEDIANTE UNA ECUACION:
Ejemplo:
f(x) = 2 x – 5

F(X) = 2 (-3) -5 = -6 -5 = - 11

F(X) = 2 (-2) - 5 = -4 -5 = -9
F(X) = 2 (-1) - 5 = -2 -5 = -7
F(X) =2 (0) - 5 = 0 -5 = -5
F(X) = 2 (1) - 5 = 2 -5 =-3
F(X) = 2 (2) – 5 = 4 – 5 = - 1
F(X) = 2 (3) -5 = 6 – 5 = 1

Manejo de las Funciones y su cambio para la solución de problemas

Cambio:
La derivada de una función de una variable mide la rapidez de cambio de la variable dependiente respecto a la variable independiente para funciones de dos variables y podemos medir dos razones de cambio: una según cambia y deja fija y la otra según cambia dejando fija.

Domino y rango de una función:
Dados los conjuntos x=1, 2, 3, y=1, 5, 8,27. Sea F una función de X en Y definida por F=(x, y)/y=x3.
Su conjunto solución es S= (1,1), (2,8), (3,27), y su representación, mediante una diagrama sagital. Teniendo en cuanta el concepto de dominio y rango de una relación, se puede hacer lo mismo para una función, luego Dom (f)=1, 2,3 y R (f)=1, 8,27. Observa que el elemento S del conjunto y no pertenece al rango de la función por que no esta relacionado con ningún elemento de Y.

Funciones logarítmicas.
En base a la función inversa de la exponencial en base a:
F (x)=log, x
a›o, a≠1

Función trigonométrica.
Asocian a cada numero real, X, el valor de la razón trigonométrica del Angulo cuya medida en radianes es Y.

Notación de funciones.
Una vez establecida la definición de función se produce a establecer la notación que convecinamente se usa para representar una función a saber.
Denotamos una función F de un conjunto A en un conjunto B del sig. maneras.
F=A→B; X→(x)

Funciones algebraicas.
Son aquellos que se obtienen al realizar un número finito de adiciones, sustracciones, multiplicaciones, divisiones y raciones con las funciones constante e identidad.

Funciones explicitas: se pueden obtener las imágenes de X por simple sustitución:
F (x)=5x-2

Funciones implícitas: no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.
5x-y-2=0.

Funciones irracionales.
Las funciones irracionales son aquellas cuya expresión matemática f(x) presenta un radical; donde g(x) es una función polifónica o una función relacional.
Si n es par, el radical esta definido para g(x) ›0; así que los efectos de calcular el dominio de f(x) que contenga un radical, habrá que imponer la condición anterior al conjunto de la expresión f(x)

Funciones trascendente:
La variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logarítmico o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.

Función exponencial:

sea un número real positivo. La función que a cada numero real y le hace corresponda la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x

Sistema coordenado rectangular:
Un sistema coordenado rectangular concite en dos rectas perpendiculares entre si que se cortan en un punto O al que se le llama origen del sistema.
Dicha recta se llama ejes coordenados.
El eje horizontal se denomina eje de las ordenadas.
Los ejes pertenece a un plano que se divide en 4 regiones llamadas cuadrantes, numeradas con números romanos.

Localiza los sig puntos el el plano y traza las figuras
a) (-3,1), (-3,-2), (5,-1), (4,2)

Operaciones con Funciones

Operación con funciones

1- suma de funciones
2-resta de funciones
3-producto de funciones
4-división de funciones

Suma de funciones

La suma de funciones que se denota por f+g la cual esta definida por

(f+g)(x)=f(x)+g(x)

Ejemplo:

1.- Sea las funciones f(x)=x2-5x+2 y g(x)=2x2+x-4


(f+g)(x)=x2-5x+2+2x2+x-4= 3x2-4x-2

Resta de funciones:

La resta de funciones que denota :

(f+g)(x)=f(x)-g(x)

1.- sean las funciones f(x)=x2-5x+2 y g(x)2x2+x-4 ; hallar

(f-g)(x)=(x2-5x+2)-(2x2+x-4)
=x2-5x+2-2x2-x+4

=-x2-6x+6

Producto de funciones

El producto de funciones que se denota por

(f.g)=f(x).g(x)

1.- sea las funciones f(x)=x+1 y g(x)=2x+3 ; hallar ;

(f.g)(x)=(x+1).(2x+3)
=2x2+3x+2x+3

= 2x2+5x+3

División de funciones

La división de funciones que se denota por

(f/g)(x) = f(x)/ g(x) / f(x)/ g(x)

Ejemplo:
1.- Sean las funciones f(x)=x3-1 y g(x)=x-1;hallar;


F(x)= x3-1= (x-1) (x2+x+1) = x2+x+1
G(x) x-1 (x-1)

Por: Hyepzy Guillén

Tipos de Funciones

De manera general, las funciones se pueden clasificar en:
1. Algebraicas
2. Trascendentes

Una función algebraica es aquella cuyo valor se puede obtener un número finito de operaciones algebraicas.
Ejemplo:
F(x)= x2+2x-3

Funciones Inyectivas:
Si f es una función de a en b, decimos que es inyectiva, si a cada elemento de a le corresponde un único elemento de b, y cada elemento de b es correspondiente exactamente a un elemento de a, también decimos que es una función 1:1.

Ejemplo:

f(x) = x3

Funciones Sobreyectivas:
Si f es una función de A en B, decimos que f es una función sobreyectiva si su rango es igual a un codominio.
Se dice entonces que la función f aplica el conjunto A sobre el conjunto B.

Ejemplo:
f(x) = x2

Funciones Crecientes:
Si los puntos x1 x2 son tales que x1 f(x1)

Es decir, que x1 F(x)=2x

Función Decreciente:
Cuando los puntos x1 x2 son tales que x1f(x2) se trata de una función decreciente, esto es:
Si al aumentar el valor de x disminuye el de sus imágenes respectivas. Decir que una función lineal es decreciente significa que tiene pendiente negativa.

Ejemplo:
f(x)= -2x -1

Funciones Constantes:
Son aquellas en donde no existe una incógnita, y el eje y siempre tiene el mismo valor.
Ejemplo:

f (x)=-3

Función Continua: decimos que una función es continua es un intervalo si su gráfica no tiene interrupciones o rupturas.
Ejemplo:
f (x)=2x+1

Función Discontinua:
Si una función no es contínua decimos entonces que es discontinua.
Ejemplo:
f (x)= 2/x

Función Raíz cuadrada simple:
La expresión y=√ x , define a una función en la que los elementos del rango no son negativos.
Su dominio será x≥0 y su rango y≥0

Ejemplo:
F(x)= √ x

Función Trascendente:

Es una función que no puede ser representada por una ecuación polinómica cuyos coeficientes son a su vez polinomios.

Función Exponencial: es aquella en la que la incógnita aparece como exponente.
Ejemplo:
f(x)=2x